부스트 컨버터(4)_Boost Converter(4)_DCM Boost Converter2

 

 

안녕하세요

 

저번 포스팅에서 우리는 CCM과 DCM이 무엇인지에 대해 알아 보았고 DCM과 CCM의 장 단점 그리고 CCM과 DCM의 경계가 되는 출력 부하\((R_{cri})\)를 구하는 방법에 대해서 구해봤어요.

 

이번 포스팅의 목표는 DCM Boost Converter의 전압 방정식\((V_{in}/V_{out})\)을 구하는 방법에 대해 학습해보고자 해요.

 

사실 DCM Boost Converter의 전압 방정식을 구하는 방법은 CCM Boost Converter의 전압 방정식을 구하는 방법과 크게 다르지 않아요. 단지 Inductor의 전류\((I_{L})\)이 0이 되어 흐르지 않게 되는 시점을 잘 처리만 해주면 된답니다. 

 

자 그럼 이제 시작해보겠습니다. 시작은 Boost Converter 회로로 시작하겠습니다. 많이들 보셔서 이제 질리실거 같지만 다시 한번 보시죠.

 

Fig1. DCM Boost Converter 회로

 

Fig1 DCM Boost Converter에서 인덕터에 인가되는 전압\((V_{L})\)을 그리면 하기 그림과 같이 도출 할 수 있습니다.

 

Fig2. DCM Boost Converter 인덕터 전류(\(I_{L}\))

 

Fig2에서 \(DT_{s}\)가 의미하는 것은 Fig1에서 스위치(Sw)가 켜졌을 때를 의미하고 \(D_{1}T_{s}\)는 스위치(sw)가 꺼졌을 때를 의미해요. 그리고 \((1-D-D_{1})T_{s}\)가 의미하는 것은 인덕터의 전류가 0이 될 때를 의미해요. 인덕터에 전류가 흐르지 않을 때 인덕터 양단에 걸리는 전압은 어떻게 될지는 인덕터의 기본 식을 사용하면 쉽게 이해할 수 있어요.

 

\(L\frac{dI_{L}}{dt} = V_{L}\) --- (1)

 

전류의 변화량이 없으면 인덕터 양단에 걸리는 전압은 0이에요. 식(1)을 토대로 인덕터 양단에 걸리는 전압을 구해보면 Fig3과 같이 표현 할 수 있어요.

 

Fig3. Boost Converter 인덕터 전압(\(V_{L}\))

 

Fig3을 이해해보자면 Fig1에서 스위치(Sw)가 켜지면 인덕터 전압\((V_{L})\)은 CCM Boost Converter에서 봤듯이 \(V_{in}\)이 걸리게 되요. 그리고 스위치(Sw)가 꺼지게 되면 인덕터 전압\((V_{L})\)에는 \(V_{in} – V_{out}\)이 걸리게 되죠. 그리고 \(1-D-D_{1}\)에서는 에너지의 형태를 전류로 저장하고 있었던 인덕터는 모든 에너지를 소진하여 식(1)에 의해 인덕터 전압\((V_{L})\)은 0이 되게 됩니다. 해당 그래프가 전부 이해 되었다면 다음으로 넘어가보죠.

 

전압 방정식\(V_{in}/V_{out}\)을 도출하기 위해 인덕터에 Voltage Second Balance를 사용해요 그림 다음과 같은 식(2)를 도출 할 수 있어요.

 

\(V_{in}DT_{s} + (V_{in} – V_{out})D_{1}T_{s} = 0\) --- (2)

 

식(2)에서 우리가 필요한 정보는 \(V_{in}, V_{out}, D\)인데 \(D_{1}\)이 포함되어 있어요. 그래서 \(D_{1}\)을 \(V_{in}, V_{out}, D\)로 치환하는 관계식을 구해서 식(2)에 넣으려고 해요.

 

저번 포스팅에서 배웠듯이 Current Second Balance를 이용하면 우리는 평균 출력 전류\((I_{out})\)와 평균 다이오드 전류\((I_{D})\)는 동일하다는 사실을 알 수 있었어요. 그렇다면 다이오드 평균 전류\((I_{D})\) 는 어떻게 구할 수 있을까요? 바로 정답은 Fig1과 Fig2를 보면서 생각해보면 알 수 있어요. Fig1에서 스위치(Sw)가 꺼지는 순간 인덕터 전류\((I_{L})\)는 모두 다이오드로 흐르게 돼요. 그렇다면 Fig2에서 스위치가 꺼진 시점인 \(D_{1}T_{s}\)의 전류만 다이오드로 흐르게 되죠! 자 그렇다면 다이오드 전류 파형 Fig4와 같이 나타날거에요.

 

Fig4. 다이오드 전류 파형 (\(I_{D}(t)\))

 

Fig4를 통해 다이오드에 흐르는 평균 전류 \((I_{D})\)를 구해보죠. 다이오드에 흐르는 평균 전류\((I_{D})\)을 구하는 식은 식(3)와 같아요. 

 

\(\frac {1}{T_{s}}\int_{0}^{T_{s}}I_d(t) dt\) --- (3)

 

위에서 이야기 했듯이 식(3)을 통해 도출된 다이오드의 평균전류\((I_{D})\)는 출력 평균 전류\((I_{out})\)와 동일하고 이를 식으로 표현하면 식(4)와 같이 도출할 수 있어요.

 

\(\frac{1}{2}I_{peak}D_{1} = I_{out}\) --- (4)

 

여기서 \(I_{peak}\)는 다이오드 전류\((I_{D})\)의 Peak 값을 의미해요.

우리는 식(4)를 통해 \(D_{1}\)에 대한 정보가 상수 값과 \(V_{in}, V_{out}, D\) 로 표현되길 바랬는 \(I_{peak}\)가 껴 있네요. 그렇다면 \(I_{peak}\)를 다시 다른 형태로 치환해보죠. 다이오드 전류\((I_{D})\)는 Fig1에서 스위치(Sw)가 꺼지는 순간의 인덕터 전류\((I_{L})\)와 동일해요. 따라서 \(I_{peak}\)는 식(5)와 같이 표현 될 수 있어요.

 

\(I_{peak} = \frac{V_{in}}{L}DT_s\) --- (5)

 

식(5)의 유도 방법은 인덕터의 기본 공식인 식(1)을 통해 도출 할 수 있어요. DCM의 전류는 무조건 0부터 시작하므로 전류의 변화량 그 자체가 다이오드의 Peak 전류가\((I_{peak})\)가 된답니다.자 이제 구해진 다이오드 피크 전류\((I_{peak})\) 식(5)를 식(4)에 넣어서 \(D_{1}\)에 대해 구하면 다음 식과 같이 도출되죠!

 

\(D_{1} = \frac{V_{out}}{V_{in}}\frac{2L}{RDT_{s}}\) --- (6)

 

다시 이 식(6)을 식(2)에 넣어요. 그럼 다음 식과 같이 도출되는데요.

 

\(D = (1+\frac{V_{out}}{V_{in}})(\frac{V_{out}}{V_{in}})(\frac{2L}{RDT_{s}})\) --- (7)

 

식(7)을 근의 공식을 통해 \(V_{out}/V_{in}\)을 도출 할 수 있고 도출된 값은 하기 식과 같아요.

 

\(\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{2}(1+\sqrt{1+\frac{2RT_sD^{2}}{L}})\) --- (8)

 

식(8)을 보면 DCM의 전압 방정식은 CCM의 전압 방정식과 달리 D가 아닌 \(D^{2}\)에 영향을 받을 뿐만 아니라 CCM과 달리 인덕턴스, 출력 저항 그리고 스위칭 주기(스위칭 주파수의 역수)에도 영향을 받는 것을 알 수 있어요. 따라서 DCM의 전압을 제어하기 위해서는 CCM 보다는 좀 더 신경 써서 설계를 진행 해야하죠.

 

우리는 지금까지 CCM과 DCM Boost Converter의 기본적인 전압 방정식에 대해 도출 해보았어요. 그렇다면 결국에 잘 설계하고 듀티 값(D)만 잘 설정해주면 우리가 원하는 전압이 항상 도출될까요? 예를 들어 1A 부하에서 갑자기 5A부하로 확 당길 때 우리가 설계한 컨버터는 우리가 원하는 전압을 잘 도출 할 수 있을까요? 그랬다면 얼마나 살기 편했을까요. 다음 시간에는 우리가 원하는 전압 값 혹은 전류 값 다시 말해 지령치를 우리가 설계한 컨버터가 잘 쫓아 갈 수 있게끔 하는 제어기에 대해 알아 볼 예정이에요. 제어기 파트는 좀 호흡을 길게 가져갈 예정이에요. 설명할 부분도 많고 저도 부족한 부분이 많기에 공부를 저도 하면서 진행하려고 하거든요. 부족한 글 읽어져 주셔서 감사합니다.