Boost Converter(2)

안녕하세요

 

저번 포스팅에서 CCM Boost Converter의 전압 방정식에 대해 도출해보았어요.

CCM Boost Converter의 전압 방정식은 하기 식 (1)과 같았어요.

 

\(\frac{V_{out}}{V_{in}} = (\frac{1}{1-D})\) --- (1)

 

여기서 D는 Duty 입니다.

이 식에 의하면 입력전압(\(V_{in}\))이 1V이더라도 Duty(\(D\))를 한없이 크게하면 출력전압을 마음대로 뽑아 낼 수 있다는 것을 의미합니다. 하지만 현실에서는 불가능합니다.(그런게 가능했더라면 정말 좋았을텐데 말입니다 ㅠㅠ 전압 비를 고민하지 않고 Boost Converter! 딱 할 수 있었으면 좋았을텐데 말입니다.) 왜 그런지 이번 포스팅에서 알아봅시다.

 

이전 포스팅에서는 고려하지 않았던 수동소자(L과 C)의 Esr을 적용시켜보도록 하죠!

 

Fig1. L과 C의 ESR이 적용된 CCM Boost Converter

 

Fig1을 보면은 일단 L과 C의 Esr이 적용이 되었습니다. 이제 저번 포스팅에서 진행하였던 과정을 다시 한번 진행해보도록 하겠습니다.

 

1) 스위치(Sw)가 켜졌을 때,

 

Fig2. 스위치(Sw)가 켜졌을 때의 CCM Boost Converter

 

위 Fig2를 통해 스위치(Sw)가 켜졌을 때에 인덕터에 걸리는 전압(\(V_{L}\))을 식(3)과 같이 구할 수 있습니다.

 

\(V_{in} = V_{Lon} + I_{Lon}R_{L}\) --- (2)

\(V_{Lon} = V_{in} - I_{Lon}R_{L}\) --- (3)

 

여기서, (\(I_{Lon}\))은 스위치(Sw) 켜졌을 때의 전류, (\(V_{Lon}\))은 스위치(Sw)가 켜졌을 때 전압을 의미합니다.

 

2) 스위치(Sw)가 꺼졌을 때,

 

Fig3. 스위치(Sw)가 꺼졌을 때의 CCM Boost Converter

 

위 Fig3을 통해 스위치(Sw)가 꺼졌을 때에 인덕터에 걸리는 전압(\(V_{L}\))을 식(5)와 같이 구할 수 있습니다.

 

\(V_{in} - V_{out} = V_{Loff} + I_{Loff}R_{L}\) --- (4)

\(V_{Loff} = V_{in} - V_{out} - I_{Loff}R_{L}\) --- (5)

 

여기서 \(I_{Loff}\)는 스위치(Sw)가 꺼졌을 때의 전류, \(V_{Loff}\)는 스위치(Sw)가 꺼졌을 때 전압을 의미합니다.

 

저번 포스팅에서 Voltage Second Balace로 인해 인덕터에 한 주기동안 걸리는 전압의 평균은 0이라는 사실을 학습하였습니다. 이를 통해 식(3)과 식(5)를 정리하면 다음 식(7) 같이 정리 됩니다.

 

\(\frac{1}{T_{s}}[\int_0^{DT_{s}}V_{Lon}dt + \int_{DT_{s}}^{T_{s}}V_{Loff}dt]\) --- (6)

\(\frac{1}{T_{s}}[\int_{0}^{DT_{s}}V_{in}-I_{Lon}R_{L}dt  + \int_{DT_{s}}^{T_{s}}V_{in}-V_{out} - I_{Loff}R_{L}dt]\) --- (7)

 

식(7)을 깔끔하게 정리하고자 할 때 문제가 발생되는 지점은 스위치가 켜졌을 때와 꺼졌을 때의 인덕터 전류(\(I_{Lon}, I_{Loff}\))입니다. 해당 전류는 시간에 따라 변동되는 값이기에 적분을 진행 할 때 t에 대해 적분을 다시 한번 진행해줘야합니다. 하지만 다행히 식(7)을 잘 정리하면 식(8)과 같이 인덕터의 평균 전류(\(I_{L}\))로 처리 할 수 있음을 알 수 있습니다. 또한 입력전압(\(V_{in}\))을 평균 입력 전압으로 처리 할 수 있습니다.. 처리 이후 모든 식을 정리 하면 식(10)과 같습니다.

 

\(\frac{1}{T_{s}}[\int_{0}^{DT_{s}}V_{in}dt + \int_{DT_{s}}^{T_{s}}V_{in}dt -R_{L}\int_{0}^{DT_{s}}I_{Lon}dt \)

\(-R_{L}\int_{DT_s}^{T_s}I_{Loff}dt-\int_{DT_s}^{T_s}V_{out}dt]\) --- (8)

\(V_{in} - R_{L}I_{L} - 1/T_{s}\int_{DT_{s}}^{T_{s}}V_{out}dt = 0\) --- (9)

\(V_{in} - R_{L}I_{L}-V_{out}(1-D) = 0\) --- (10)

 

식(10)부터 이 포스팅이 끝날 때 까지 \(I_{L}\)과 \(V_{in}\)을 평균 값을 의미하는 것으로 사용할 것 입니다.

이제 여기서 \(V_{in}\)/\(V_{out}\)을 구하기 위해서는 \(I_{L}\)을 \(V_{in}\) 혹은 \(V_{out}\)으로 표현해야합니다.

 

이를 표현하기 위해서는 인덕터의 친구이자 전하를 쌓아 전압을 만들어주는 커패시터의 특성을 이용해야합니다. 인덕터에게 Voltage Second Balance가 있다면 커패시터에게는 Current Second Balance가 있습니다. Current Second Balance는 커패시터로 들어가는 전류의 평균은 0이라는 것을 의미합니다. 

 

Fig1과 Fig2는 인덕터에 인가되는 전압을 구하기 위해 커패시터는 음영처리하여 생각하지 않았습니다. 하지만 이제 우리는 커패시터 전류에 집중해야하므로 스위치(Sw)가 켜지고 꺼졌을 때 커패시터 전류를 집중해서 보는 것으로 하겠습니다.

 

1) 스위치(Sw)가 켜졌을 때,

 

Fig4. 스위치(Sw)가 켜졌을 때 \(I_{c}\)와 \(I_{out}\)과의 관계

 

Fig4를 보면 스위치(Sw)가 켜지면 입력전압과 출력 전압과 회로가 구성되지 않게 됩니다. 따라서 스위치(Sw)가 켜져있는 동안에는 커패시터에 충전된 전압(\(V_{c}\))로 출력 전압을 유지 시켜줍니다. 따라서 커패시터 전류(\(I_{c}\))와 출력 전류(\(I_{out}\))은 다른 부호를 가지는 같은 값을 가지게 됩니다. 이를 식으로 표현하면 식(12)와 같습니다.

 

\(I_{con} = I_{outon}\) --- (11)

\(I_{con} = -\frac{V_{out}}{R_{out}}\) --- (12)

 

여기서 \(I_{con}\)은 Sw가 켜져있을 때 커패시터에 흐르는 전류, \(I_{outon}\)은 Sw가 켜져있을 때 출력 전류 입니다.

 

Fig5. 스위치(Sw)가 껴졌을 때 \(I_{L}\), \(I_{c}\)과 \(I_{out}\)과의 관계

 

Fig5를 보면 스위치(Sw)가 꺼지면 스위치(Sw)부를 제외하고 전 소자들이 출력 전압에 관여하게 됩니다. 이 때 커패시터 전류에 흐르는 식(14)와 같습니다.

 

\(I_{coff} = I_{Loff} - I_{outoff}\) --- (13)

\(I_{coff} =  I_{Loff} - \frac{V_{out}}{R_{out}}\) --- (14)

 

이제 커패시터의 Current Second Balance를 사용해서 한 주기 동안의 평균은 0이라는 속성을 통해 식을 정리 해봅시다.

 

\(\frac{1}{T_{s}}[\int_{0}^{DT_{s}}-\frac{V_{out}}{R_{out}}dt + \int_{DT_{s}}^{T_{s}} I_{Loff} - \frac{V_{out}}{R_{out}}dt] = 0\) ---(15)

 

식(15)에서 간단하게 몇몇 부분을 추출해서 간단하게 표현하면 식(16)이 됩니다.

 

\(\frac{1}{T_s}[\int^{T_s}_{DT_s} I_{Loff} dt] =  \bar{I}_{Loff} = (1-D)\bar {I}_L\) --- (16)

 

여기서  \(\bar {I}_L\) 인덕터 전류의 평균 값, \(\bar{I}_{Loff}\)은 스위치(Sw)가 꺼졌을 때의 인덕터에 흐르는 평균 전류를 의미합니다. 이 이후로부터는 Bar를 제거하고 쓸 예정입니다. \(I_{L}\)은 평균 출력전압 평균 출력 전류 및 \(I_{Loff}\) 스위치가 꺼졌을 때의 인덕터 평균 전류를 의미합니다. 

 

식(16)을 식(15)에 대입하면 식(17)과 같이 표현 할 수 있습니다.

 

\((1-D)(-\frac{V_{out}}{R_{out}}+I_{L}) = \frac{V_{out}}{R_{out}}D\) --- (17)

 

이제 다왔습니다. 식(17)을 식(10)에 대입하면 esr이 고려된 CCM Boost Converter의 전압 방정식인 식(18)을 구할 수 있습니다.

 

\(\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{(1-D)}\frac{1}{1+\frac{1}{(1-D)^2}\frac{R_L}{R_{out}}}\) --- (18)

 

식(18)을 \(R_{L}\)/\(R_{out}\)의 비율을 1로 두고 Duty에 따른 그래프를 그리면 Fig6과 같이 구해집니다.

 

Fig6. \(R_{L}\)/\(R_{out} = 0.1\)일 때 \(V_{in}\)/\(V_{out}\)의 변화

 

여기서 보면 \(R_{L}\) 값이 존재함에 따라 CCM Boost Converter의 전압 승압비가 약 1.58 밖에 되지 않음을 볼 수 있습니다.(확실하게 보여드리고자 비율을 좀 극단적으로 크게 했습니다!) 자세히 보면 \(R_{c}\)는 승압 비에 아무런 영향을 안미치는 것을 볼 수 있습니다.(물론 출력 전압 리플에 큰 영향을 주기에 작을 수록 좋습니다!)

 

자 여기까지의 CCM Boost Converter의 전압비에 대해 구해 보았습니다. 그런데 왜 저는 계속 Boost Converter 앞에 CCM이라는 것을 계속 붙였을까요? 왜냐면 DCM Boost Converter의 전압비는 또 다른 식으로 표현되기 때문이죠! 다음 포스트에서는 DCM Boost Converter가 무엇인지와 DCM Boost Converter의 전압 방정식을 도출해보시죠!

 

부족한 글 읽어주셔서 감사합니다.